Автоматическая система контроля

Автоматизация технологических процессов

Методы решения задач оптимального управления на базе вариационного исчисления

Большое число задач вариационного исчисления содержит дополнительные условия. Экстремум функционала, определяемый при дополнительных условий, называется условным, а если нет дополнительных условий, то безусловным. Дополнительные условия задаются системой неравенств.

Постановка задачи при дополнительных условиях: пусть требуется найти кривые, дающие максимум интегралу.

при наличии дополнительных условий:

система уравнений, которые между собой независимы

Для решения этой задачи применяется метод множителей Лагранжа.

li(x) - множители Лагранжа

Число уравнений Эйлера равно n и имеется m уравнений дополнительных условий (m+n) достаточно, чтобы определить y1,… yn; l1,…, lm

Также имеются уравнения граничных условий. Эти уравнения позволяют определить 2n произвольных постоянных в общем решении уравнения Эйлера. Дополнительные условия могут носить характер диф. уравнений. Эта задача называется общей задачей Лагранжа.

В этом случае процедура решения остаётся прежней.

Дополнительные условия могут иметь вид интегральных равенств:

li - постоянные

Эта задача сводиться к предыдущей введением новых дополнительных координат.

Процедура введения множителей Лагранжа упрощается, т.к. li=const

Более общей постановкой задачи значение x0 и x1 не фиксируются, но требуется, чтобы они находились на определённых линиях либо поверхностях.

АСВ - искомая экстремаль

Решения вариационных задач часто достигается при расширении класса дополнительных функций, например, за счёт кусочно-гладких функций. В этом случае рассматриваются дополнительные условия Эрмана-Вайеристрасса.

Задача усложняется, если решением является функция с конечным числом точек разрыва первого рода. Особенно, если число точек заранее неизвестно.

Существует прямой метод вариационных исчислений (метод Ритца):

ai - постоянные коэффициенты

Рi(x) - выбранные функции

Особенности задач теории оптимальных систем:

1) в функционале, в уравнениях объекта и в условиях ограничений присутствуют координаты объекта ai и управляющее воздействие;

2) ограничение обычно имеет форму неравенств, вектор U может находиться и на границах дополнительной для него области;

3) решением оптимальной задачи часто является кусочно-направленные функции Uj(t) с конечным числом точек разрыва первого рода, но не определено в какие моменты времени происходят скачки.

Другие статьи по теме

Исследование эффективности и путей совершенствования алгоритмов регулирования мощности в системах сотовой связи различных стандартов Влияние технологий мобильной̆ связи на нашу жизнь переоценить невозможно. Мобильная связь рассматривается в настоящее время как необходимость, а технологии мобильной̆ свя ...

Кодек сигнала моноадресной системы Для представления видеопотока в цифровом виде пришлось решить немало проблем. Большие сложности составила проблема совместимости с существующими аналоговыми форматами (PAL, SECAM, NTSC). ...

История развития пожарной автоматики В современном обществе огромное внимание уделяется созданию систем пожарной безопасности объектов, которые предназначены для защиты жизни людей и материальных ценностей от огня. Ведь опа ...