Автоматическая система контроля

Автоматизация технологических процессов

Передаточная функция в изображениях Лапласа

Передаточной функцией САР или звена в изображениях Лапласа называется отношение изображения выходной переменной к изображению входной переменной при нулевых начальных условиях, имеющее наименьший порядок.

Таким образом, согласно определению, ПФ в изображениях Лапласа не может иметь равные между собой нули и полюсы, так как в этом случае ее порядок следует понизить, сократив числитель и знаменатель на общий делитель.

Табл.2.2. Теоремы преобразования Лапласа

Название операции

Формулировка теоремы

Название операции

Формулировка теоремы

Умножение оригинала на коэффициент k ,

k=constЧистое запаздывание

 

Сумма

Начальное значение

Производная

Конечное значение

Производная n-го порядка

Умножение оригинала на экспоненту

Интеграл

Интеграл свертки

Определим ПФ (в изображениях Лапласа) звена, описываемого ДУ (*), применив к обеим частями этого уравнения преобразование Лапласа, и используя свойство линейности преобразования (табл.2.2):

.

Учитывая, что начальные условия нулевые, с помощью табл.2.2 получаем:

.

Отсюда находим передаточную функцию от входа к выходу :

.(***)

Таким образом, ДУ в изображениях Лапласа легко получается из ДУ в операторной форме путем подстановки и замене переменных их изображениями. Поэтому ПФ в изображениях Лапласа связана с ПФ в операторной форме соотношением

.

При этом после подстановки следует сократить общие множители, если они присутствуют. Обратное соотношение

справедлива, если передаточная функция не имеет равных между собой нулей и полюсов.

Следует отметить очень важные моменты:

. Последние два соотношения, устанавливающих соответствие между ПФ некоторой САР (или звена) в операторной форме и ПФ в изображениях Лапласа, справедливы только для стационарных САР. Поэтому в общем случае, когда говорят просто о передаточной функции САР или звена, имеют в виду ПФ в изображениях по Лапласу.

. При наличии равных между собой нулей и полюсов ПФ в операторной форме некоторой САР (или звена) ПФ в изображениях Лапласа не может служить его описанием при произвольных начальных условиях.

Другие статьи по теме

Исследование биполярного транзистора в статическом режиме Биполярным транзистором называют трёхслойную полупроводниковую структуру с чередующимися типом проводимости областей, созданную в едином кристалле и образующую два встречно включённых вз ...

Источник питания с микроконтроллером Микроконтроллеры используются во всех сферах жизнедеятельности человека, устройствах, которые окружают его. Простота подключения и большие функциональные возможности делает его при ...

Блок выполнения операций десятичной арифметики Каноническая структура синтеза синхронного вычислительного устройства состоит из двух автоматов - операционного (ОА) и управляющего (УА). Каноническая структура вычислительного ус ...